회로이론 및 제어공학›7장 디지털 제어와 시퀀스

샘플드데이터 제어

Sampled-Data Control & z-Transform

디지털 제어: 연속을 이산으로 바꾸는 이유

🔍 왜 샘플링하는가?

①컴퓨터(마이크로프로세서)는 연속 신호를 직접 처리할 수 없다 — 숫자(이산값)만 다룬다

②일정 주기 T마다 신호를 "찍어서" 숫자로 저장하는 것이 샘플링

③비유: 동영상은 초당 30장의 정지 사진(프레임) — 충분히 빠르면 연속으로 보인다

샘플링 주파수를 바꿔보자

샘플링 주파수 f_s10 Hz

신호 기본 주파수2 Hz

나이퀴스트 샘플링 정리

f_s > 2 · f_max (= 나이퀴스트 주파수)

f_s: 샘플링 주파수, f_max: 신호의 최고 주파수. 이 조건을 못 지키면 앨리어싱(주파수 왜곡)이 발생한다.

🔑 핵심 관찰

①f_s가 충분하면: ZOH 복원 파형이 원래 신호에 가깝다 (계단 근사)

②f_s가 부족하면: 앨리어싱 — 복원된 파형이 원래와 전혀 다른 주파수로 나타난다

③샘플 점(주황 임펄스)이 빽빽할수록 정보 손실이 적다

z변환: 이산 시스템의 라플라스

z변환 정의

F(z) = Σ f(nT) · z⁻ⁿ (n = 0, 1, 2, ...)

z = e⁽sT). 라플라스 변환의 이산 버전으로, 차분방정식을 대수방정식으로 바꾼다.

주요 z변환 쌍

단위계단: z/(z−1), e⁻ᵃᵀ: z/(z−e⁻ᵃᵀ)

ℤ{nT} = Tz/(z−1)², ℤ{sin nωT} = z·sin ωT/(z²−2z·cos ωT+1).

z변환의 성질

시간 이동: ℤ{f(n−1)} = z⁻¹F(z)

z⁻¹은 '1샘플 지연' 연산자. s영역의 e⁻ˢᵀ에 대응한다.

⚡ s평면 → z평면 매핑

①s평면 좌반면(안정) → z평면 단위원 내부(|z| < 1)

②s평면 허수축(한계) → z평면 단위원 위(|z| = 1)

③s평면 원점 → z평면 z = 1

이산 시스템의 전달함수와 안정도

영차 홀드 (ZOH)

G_ZOH(s) = 1 − e^−sTs

샘플 → 홀드 → 연속 플랜트 순서. Z{G_ZOH · G_p(s)}로 이산 전달함수를 구한다.

이산 안정 조건

폐루프 극 |z_i| < 1 (모든 i)

z평면에서 모든 극이 단위원 내부에 있으면 안정. 쥬리(Jury) 판별법으로 확인.

🔄 s평면 ↔ z평면 대응 (z = e^(sT))

①s 좌반면(σ<0) → z 단위원 내부(|z|<1) → 안정

②s 허수축(σ=0) → z 단위원 위(|z|=1) → 한계 안정

③s 우반면(σ>0) → z 단위원 외부(|z|>1) → 불안정

💡 쥬리 안정도 판별법

①라우스 판별법의 z평면 버전 — 특성다항식 계수로 배열을 만들어 판별

②필요조건: P(1) > 0, (−1)ⁿP(−1) > 0, |a₀| < aₙ

③s평면에서 쌍일차 변환(w = (z−1)/(z+1))을 하면 라우스를 그대로 적용할 수도 있다

총정리

📋 이산제어 핵심 공식 요약

①z = e^(sT)로 s평면과 z평면이 연결된다 — 좌반면 → 단위원 내부

②ZOH(영차홀드)와 이산 안정 조건(|z|<1)이 시험 핵심

나이퀴스트

f_s > 2f_max

앨리어싱 방지 조건

z변환

F(z) = Σf(nT)z⁻ⁿ

z = e⁽sT)

🔗 아날로그→디지털 변환

나이퀴스트 정리로 표본화하고, z변환으로 해석한 뒤, ZOH로 복원한다

안정 조건

모든 극 |z| < 1

단위원 내부

ZOH

(1−e⁻ˢᵀ)/s

영차 홀드 전달함수

🎯 시험 포인트

①z⁻¹ = 1샘플 지연: 차분방정식에서 z변환의 핵심 연산자

②z변환 역변환: 부분분수 전개 후 변환표로 역변환 (라플라스와 동일 패턴)

③s→z 매핑: 좌반면→단위원내, 허수축→단위원위, 우반면→단위원외

④쥬리 판별법 필요조건 3개: P(1)>0, (−1)ⁿP(−1)>0, |a₀|<aₙ → 하나라도 위반 시 불안정

⑤샘플링 주기 T가 작을수록(f_s↑) 연속 시스템에 가까워지지만 계산 부하↑ — 트레이드오프