회로이론 및 제어공학›6장 응답과 안정도

근궤적

Root Locus

근궤적: 게인을 바꾸면 극이 어디로 이동하나?
🔍 근궤적이란?
①특성방정식 1 + KG(s)H(s) = 0의 근(폐루프 극)이 K 변화에 따라 s평면에서 그리는 궤적
②K = 0일 때: 폐루프 극 = 개루프 극 (출발점)
③K → ∞일 때: 폐루프 극 → 개루프 영점 또는 무한대 (도착점)
K를 조절해서 극의 이동을 관찰하자
1
🔑 핵심 관찰
①K가 작을 때: 극이 실수축 위에 있다 (과감쇠)
②K를 키우면: 극이 이탈점에서 허수축 방향으로 분기 (부족감쇠 → 진동)
③K가 너무 크면: 극이 허수축을 넘어 우반면 진입 → 불안정!
근궤적 작도 8대 규칙
규칙 1~2: 시작과 끝
K=0에서 극, K=∞에서 영점 (또는 무한대)
궤적 가닥 수 = max(극 수, 영점 수). 극에서 출발해 영점으로 도착.
규칙 3: 실수축 위의 궤적
오른쪽에 극+영점 합계가 홀수인 구간
해당 점의 오른쪽을 셌을 때 극과 영점의 총 개수가 홀수이면 그 구간은 근궤적.
📐 여기서부터 스케치 도구
①규칙 1~3은 궤적의 시작·끝·방향을 정하고
②규칙 4~8은 궤적의 구체적인 형태(점근선, 이탈점, 교차점)를 결정한다
규칙 4: 점근선
σa = (Σ극 − Σ영점)/(n−m), θ = (2k+1)π/(n−m)
n: 극 수, m: 영점 수. n−m개의 가지가 점근선을 따라 무한대로 간다.
규칙 5: 이탈점/진입점
dK/ds = 0 인 s값
실수축에서 궤적이 분리(이탈)되거나 합류(진입)하는 점.
⚡ 규칙을 순서대로 적용
시작/끝 → 실수축 → 점근선 → 이탈점 → 허수축 교차 순서로 작도하면 된다
규칙 6: 허수축 교차
라우스 배열의 보조방정식 → 교차 K값과 jω값
궤적이 허수축을 지나는 K = 안정 한계이득. 라우스 배열 첫째열 0이 되는 조건으로 구한다.
규칙 7~8: 출발각/도착각, K→∞
출발각 = 180° − Σ(극에서의 각도) + Σ(영점에서의 각도)
복소극에서의 출발각 계산. K→∞이면 영점으로 수렴하거나 점근선을 따라 무한대로 발산.
근궤적의 활용
💡 근궤적으로 할 수 있는 것
①안정 K 범위 결정: 궤적이 허수축을 넘는 K값 = 임계 게인
②감쇠비 확인: 원점에서 극까지의 각도 = cos⁻¹ζ → ζ 선으로 교차점 읽기
③보상기 설계: 영점 추가 → 궤적을 좌반면으로 "끌어당겨" 안정 영역 확대
④라우스와 조합: 임계 K를 라우스로 정확히 구하고, 근궤적으로 시각 확인
총정리
📋 근궤적 핵심 공식 요약
①출발/도착, 실수축 규칙, 점근선, 이탈점 — 이 4가지로 근궤적 스케치 완성
②시험에서는 점근선 교차점과 이탈점 계산이 가장 많이 출제된다
출발/도착
극 → 영점 (K↑)
가닥 수 = max(n,m)
실수축 규칙
우측 극+영점 = 홀수
해당 구간이 궤적
🔑 근궤적의 핵심 포인트
출발/도착과 실수축 규칙이 기본이고, 점근선·이탈점은 심화
점근선
σa, θ = (2k+1)π/(n−m)
n−m개 가지
이탈점
dK/ds = 0
궤적 분기/합류점
🎯 시험 포인트
①근궤적은 실수축에 대해 대칭 — 복소극은 항상 켤레쌍으로 나타난다
②점근선 교차점 σ_a = (극의 합 − 영점의 합) / (극 수 − 영점 수)
③허수축과의 교차 K값 = 라우스 배열의 보조방정식으로 정확히 계산
④영점을 추가하면 궤적이 좌반면 쪽으로 끌려옴 → 안정 영역↑
⑤이탈점은 항상 실수축 위의 근궤적 구간 내부에 존재한다