회로이론 및 제어공학›2장 교류회로

다상교류

Polyphase AC

3상 교류: 왜 3개를 쓰는가?
🔍 3상이 유리한 이유
①단상: 전력이 0이 되는 순간이 있다 (사인파의 영점) — 모터가 "끊김"을 느낀다
②3상: 120°씩 어긋난 3개 전압의 합 = 항상 0 → 순시전력이 일정하다
③같은 전력을 보낼 때 3상이 단상보다 도체 사용량이 25% 적다 (경제적)
0°
🔑 핵심 관찰
①A, B, C 세 상이 정확히 120°(= T/3) 간격으로 배치된다
②임의의 순간에 세 상의 합 = 0 (평형 조건)
③상순: A→B→C(정상순), A→C→B(역상순) — 모터 회전방향을 결정한다
Y결선과 Δ결선: 두 가지 연결법
Y결선
VL = √3 VP, IL = IP
VL: 선간전압, VP: 상전압, IL: 선전류, IP: 상전류. 중성선이 있어 단상 부하 공급 가능.
Δ결선
VL = VP, IL = √3 IP
중성점 없음. 선간전압 = 상전압. 대용량 전동기에 주로 사용.
3상 전력 계산
3상 전력 (평형부하)
P = √3 VL IL cos θ
Y든 Δ든 같은 공식! VL: 선간전압, IL: 선전류, θ: 부하의 역률각.
3상 전력 (상 기준)
P = 3 VP IP cos θ
상전압·상전류로 표현한 3상 전력. Y에서 VP=VL/√3, Δ에서 IP=IL/√3 대입하면 위 공식과 동일.
3상 무효·피상전력
Q = √3 VL IL sin θ, S = √3 VL IL
S = √(P² + Q²). 단위: P[W], Q[Var], S[VA].
Y-Δ 변환과 전력 측정
Y → Δ 변환
ZΔ = 3 ZY (평형부하)
불평형: Zab = (ZaZb + ZbZc + ZcZa)/Zc. 평형이면 단순히 3배.
2전력계법
P = W₁ + W₂, Q = √3(W₁ − W₂)
3상 전력을 전력계 2개로 측정. 역률각 θ에 따라 W₁, W₂ 값이 달라진다.
2전력계법 역률
tan θ = √3(W1 − W2)W1 + W2
2전력계법 측정값으로 역률각을 구할 수 있다. W₁+W₂=P, √3(W₁−W₂)=Q이므로 tanθ=Q/P.
💡 2전력계법 부호 판별
①θ < 60°: W₁ > 0, W₂ > 0 (모두 양수)
②θ = 60°: W₂ = 0 (한쪽이 0)
③θ > 60°: W₂ < 0 (한쪽이 음수 — 전력계 역접속 필요)
대칭좌표법과 회전자계
대칭좌표법 — 영상·정상·역상분
V0 = Va + Vb + Vc3, V1 = Va + aVb + a2Vc3, V2 = Va + a2Vb + aVc3
불평형 3상을 평형 성분(정상분 V₁, 역상분 V₂, 영상분 V₀)으로 분해. 고장 해석의 핵심 도구.
a 연산자
a = ej120° = −12 + j√32, a2 = ej240°, 1 + a + a2 = 0
a를 곱하면 120° 회전. a³ = 1. 대칭좌표법의 핵심 연산자.
💡 대칭좌표법 활용
①정상분(V₁): 정상 운전 시 전압/전류 — 모터를 돌리는 성분
②역상분(V₂): 역회전 자계를 만드는 성분 — 발열·진동 원인
③영상분(V₀): 세 상이 동일 크기·동위상 — 중성선으로 흐르는 성분
④평형 3상이면 역상분·영상분 = 0, 정상분만 존재
회전자계 동기속도
Ns = 120fp [rpm]
f: 주파수[Hz], p: 극수. 3상 회전자계의 크기는 단상의 3/2배이고 일정(맥동 없음).
🔄 회전자계
①2상: 회전자계 크기 일정, 회전속도 = ω (전원 각주파수)
②3상: 회전자계 크기 = 단상의 3/2배, 회전속도 = ω
③동기속도 N_s = 120f/p에서 극수(p)가 많을수록 느리게 회전
④상순(A→B→C vs A→C→B)을 바꾸면 회전방향이 반대가 된다
시험 포인트 총정리
📋 3상 교류 핵심 공식 요약
①Y결선·Δ결선의 선간/상간 관계, 3상 전력 — 이 세 가지가 3상 문제의 전부
②동기속도 N_s = 120f/P는 전기기기에서도 핵심이니 확실히 외워두자
Y결선
VL = √3 VP, IL = IP
중성선 있음. 단상 부하 공급 가능.
Δ결선
VL = VP, IL = √3 IP
중성점 없음. 대용량 전동기.
🔗 Y vs Δ 핵심 차이
Y는 선간전압=√3×상전압, Δ는 선전류=√3×상전류 — 전력은 √3VIcosθ로 동일
3상 전력
P = √3 VL IL cos θ = 3 VP IP cos θ
Y, Δ 공통. S = √3 VL IL.
동기속도
Ns = 120fp [rpm]
f: 주파수, p: 극수
🎯 시험 포인트
①√3 위치: Y는 전압에, Δ는 전류에 √3 — "와이 볼트, 델타 암페어"
②3상 전력 P = √3V_LI_Lcosθ는 Y든 Δ든 동일
③Y-Δ 변환: 평형 시 Z_Δ = 3Z_Y
④2전력계법: P=W₁+W₂, Q=√3(W₁−W₂), tanθ=√3(W₁−W₂)/(W₁+W₂)
⑤2전력계법 부호: θ<60° 모두 양, θ=60° W₂=0, θ>60° W₂<0(역접속)
⑥대칭좌표법: a=e^(j120°), 1+a+a²=0 — 영상(V₀)/정상(V₁)/역상(V₂)
⑦평형 3상이면 역상분·영상분 = 0, 정상분만 존재
⑧회전자계: N_s = 120f/p, 3상 자계 크기 = 단상의 3/2배(일정)