회로이론 및 제어공학›2장 교류회로

비정현파 교류

Non-Sinusoidal AC

비정현파 = 여러 사인파의 합주

🔍 왜 비정현파인가?

①현실의 전기 파형은 완벽한 사인파가 아니다 — 인버터, 정류기 등이 파형을 왜곡시킨다

②푸리에: "아무리 복잡한 주기 파형도 사인·코사인의 합으로 분해할 수 있다"

③오케스트라 비유: 1차(기본파) = 멜로디, 2차·3차(고조파) = 화음과 색채

고조파를 하나씩 더해보자

고조파 차수3차

푸리에 급수 고조파 합성 시각화

🔑 핵심 관찰

①고조파를 1개(기본파)만 쓰면 그냥 사인파 — 차수를 높일수록 원래 파형에 가까워진다

②구형파: 홀수 고조파(1,3,5...)만 존재, 진폭 1/n으로 감소

③삼각파: 홀수 고조파만, 진폭이 1/n²으로 빠르게 감소 → 적은 차수로도 잘 근사

푸리에 급수와 대칭성

푸리에 급수

f(t) = a₀2 + Σ(a_n cos nωt + b_n sin nωt)

a₀/2: 직류분(평균값), aₙ: 코사인 계수, bₙ: 사인 계수. n=1이 기본파, n≥2가 고조파.

푸리에 계수

a_n = 2T∫f(t)cos(nωt)dt, b_n = 2T∫f(t)sin(nωt)dt

적분 구간: 한 주기 T. a₀ = (2/T)∫f(t)dt는 평균값의 2배.

우함수·기함수·반파대칭 파형 비교

⚡ 대칭성으로 계산 줄이기

①우함수 대칭 f(t)=f(−t): bₙ=0 → 코사인 항만 남는다

②기함수 대칭 f(t)=−f(−t): aₙ=0 → 사인 항만 남는다

③반파 대칭 f(t+T/2)=−f(t): 짝수차 고조파=0 → 홀수차만 존재

비정현파의 실효값, 왜형률, 파형률, 파고율

비정현파 실효값

V = √(V₀² + V₁² + V₂² + V₃² + ...)

V₀: 직류분, Vₙ: n차 고조파 실효값. 최대값 기준이면 V = √(V₀² + V₁_m²/2 + V₂_m²/2 + ...).

왜형률 (THD)

ε = √(V₂² + V₃² + ...)V₁ × 100%

기본파(V₁) 대비 고조파 성분의 크기. 왜형률이 높을수록 파형 왜곡이 심하다.

📊 파형 지표 3총사

①왜형률(THD)·파형률·파고율은 모두 "얼마나 정현파에서 벗어났나"를 측정하는 지표

②정현파이면 왜형률=0, 파형률=1.11, 파고율=√2 — 이 기준값을 외워두자

파형률

파형률 = 실효값평균값

정현파의 파형률 = π/(2√2) ≈ 1.11. 파형이 뾰족할수록 파형률이 크다.

파고율 (Crest Factor)

파고율 = 최대값실효값

정현파의 파고율 = √2 ≈ 1.414. 파형이 뾰족할수록 파고율이 크다.

비정현파 전력

P = V₀ I₀ + Σ V_n I_n cos θ_n

같은 차수끼리만 전력을 만든다. 다른 차수끼리의 곱은 평균이 0 (직교성).

💡 고조파와 임피던스

①n차 고조파의 주파수 = nf → X_L = nωL (비례↑), X_C = 1/(nωC) (반비례↓)

②같은 R-L-C 회로라도 고조파마다 임피던스가 다르다 — 각 차수별로 따로 계산

③고조파 전류는 변압기 손실, 역률 저하, 중성선 과부하의 원인

시험 포인트 총정리

실효값

V = √(ΣV_n²)

직류분 + 각 고조파 실효값의 제곱합의 루트

왜형률·파형률·파고율

왜형률 = √(ΣV_n≥2²)V₁, 파형률 = 실효값평균값, 파고율 = 최대값실효값

정현파 기준: 왜형률=0, 파형률≈1.11, 파고율≈1.414

🎯 시험 포인트

①대칭성 3종: 우함수(bₙ=0), 기함수(aₙ=0), 반파대칭(짝수차=0) — 복합 적용 가능

②실효값 계산: 각 성분 실효값의 "제곱합의 루트"이지 단순 합이 아니다

③n차 고조파 리액턴스: X_Ln = nωL, X_Cn = 1/(nωC) — 차수별 임피던스 달라짐

④직류분 a₀/2는 파형의 평균값 — 반파대칭이면 직류분도 0

⑤왜형률 분모는 기본파(V₁)이지 전체 실효값(V)이 아니다 — 혼동 주의

⑥파형률·파고율: 정현파 값(1.11, 1.414)을 암기하고 비정현파와 비교하는 주요 출제 포인트

⑦비정현파 전력: 같은 차수끼리만 전력 생성 — 다른 차수 곱의 평균 = 0