회로이론 및 제어공학›3장 회로망 해석

유도결합회로

Coupled Circuit

두 코일 사이의 '자기적 연결'
🔍 유도결합이란?
①한 코일에 전류가 흐르면 자속이 생기고, 이 자속의 일부가 이웃 코일을 관통한다
②관통하는 자속이 변하면 이웃 코일에 기전력이 유도된다 (패러데이 법칙)
③변압기의 원리가 바로 이것 — 전기적 연결 없이 에너지를 전달한다
결합계수 k를 조절해보자
0.6
5 A
🔑 핵심 관찰
①k = 0: 결합 없음 (두 코일이 독립) → 자속선이 안 보인다
②k = 1: 완전결합 (누설 자속 = 0) → 이상적 변압기
③실제 변압기: k ≈ 0.95~0.99, 공심 코일: k ≈ 0.01~0.3
상호인덕턴스와 결합 공식
상호인덕턴스
M = k√(L₁L₂)
M: 상호인덕턴스[H], k: 결합계수(0≤k≤1), L₁,L₂: 각 코일의 자기인덕턴스.
유도 기전력
e₂ = −M × dI₁/dt
1차 전류의 변화율에 비례하여 2차에 기전력이 유도된다.
가극성/감극성
가극성: LT = L₁ + L₂ + 2M, 감극성: LT = L₁ + L₂ − 2M
극성 표시(도트)로 구분. 도트가 같은 쪽이면 가극성.
🔑 기본 개념 → 회로 해석
①M, e₂, 가/감극성 — 이 세 가지가 결합회로의 기본 도구
②이제 이 도구로 실제 결합회로의 전압 방정식을 세우고 풀어보자
M 측정법
M = L가동 − L차동4
가극성(가동) 접속과 감극성(차동) 접속의 합성 인덕턴스 차이로 M을 구한다.
결합회로 연립방정식
V₁ = jωL₁I₁ + jωMI₂, V₂ = jωMI₁ + jωL₂I₂
1차·2차를 동시에 KVL로 풀어야 한다. 극성에 따라 M 항의 부호가 바뀐다.
반사 임피던스
Zr = ω2M2Z2
2차 부하가 1차에 반영되는 임피던스. 1차에서 본 총 임피던스 = jωL₁ + Zr.
등가회로 변환
T형 등가회로
La = L₁ − M, Lb = L₂ − M, Lc = M
상호인덕턴스를 제거하고 3개의 자기인덕턴스로 표현. 가극성 기준.
이상적 변압기 등가
a = N2N1 = V2V1 = I1I2
k=1, 무손실. Z₁ = Z₂/a² (2차→1차 환산). 반대로 n=N₁/N₂=1/a로 쓰면 Z₁'=n²Z₂.
💡 반사 임피던스의 의미
①2차 부하 Z_L이 1차에 Z_L/a²으로 "반사"되어 나타난다
②이것이 변압기의 임피던스 변환 기능: Z₁ = Z₂/a²
③임피던스 매칭에 활용 — 최대 전력 전달 조건을 만들 수 있다
총정리
📋 결합회로 핵심 4공식
①상호인덕턴스·극성·권수비·임피던스 변환 — 이 4가지가 결합회로 문제의 전부
②기출에서 M 구하기, 극성 판별, 등가회로 변환이 반복 출제된다
상호인덕턴스
M = k√(L₁L₂)
0 ≤ k ≤ 1
가/감극성
가: +2M / 감: −2M
직렬 합성인덕턴스
🔗 결합과 변환
상호인덕턴스와 극성 판별이 기본이고, 이를 이용해 등가회로를 변환한다
권수비
a = N₂/N₁ = √(L₂/L₁)
이상적 변압기
임피던스 변환
Z₁ = Z₂ / a²
1차로 환산
🎯 시험 포인트
①극성 표시(도트): 도트가 같은 쪽이면 가극성(+M), 반대쪽이면 감극성(−M)
②결합계수 k = M/√(L₁L₂) → M ≤ √(L₁L₂) 항상 성립
③M 측정: 가동접속(L₁+L₂+2M)과 차동접속(L₁+L₂−2M)의 차로 M=(L가동−L차동)/4
④결합회로: V₁=jωL₁I₁+jωMI₂, V₂=jωMI₁+jωL₂I₂ — 극성에 따라 M 부호 변경
⑤반사 임피던스 = ω²M²/Z₂ → 2차 부하가 1차에 미치는 영향
⑥T형 등가에서 L₁−M < 0이 될 수 있다 (밀결합 시) → 음의 인덕턴스로 처리
⑦이상변압기: Z₁=Z₂/a² (a=N₂/N₁) 또는 Z₁'=n²Z₂ (n=N₁/N₂) — 표기법 주의