회로이론 및 제어공학›2장 교류회로

교류회로

AC Circuit

교류 = 크기와 방향이 주기적으로 변하는 전기
🔍 직류 vs 교류
①직류(DC): 건전지처럼 항상 한 방향 — 시간 그래프가 수평선
②교류(AC): 콘센트처럼 방향이 왔다갔다 — 시간 그래프가 사인 곡선
③한국 가정용: 220V, 60Hz → 1초에 60번 왕복한다
1×f
30°

정현파 전압·전류 파형과 위상차 시각화

🔑 핵심 관찰
①파란 실선 = 전압 v(t), 주황 점선 = 전류 i(t)
②위상(θ)이 양수이면 전류가 전압보다 "뒤진다" (지상, 유도성)
③주파수가 높을수록 같은 시간에 더 많이 진동한다
페이저: 회전하는 화살표로 교류를 다루다

R, L, C 소자별 페이저 다이어그램

페이저 표현
V = Vm∠θ = Vm(cos θ + j sin θ)
복소수 표현: 크기(Vm)와 위상(θ)으로 정현파를 대수적으로 다룰 수 있다. j = √(−1).
R, L, C 소자 리액턴스
R: V = IR, L: XL = ωL = 2πfL, C: XC = 1ωC = 12πfC
R: 동위상, L: V가 I보다 90° 앞섬(ELI), C: I가 V보다 90° 앞섬(ICE).
⚡ ELI the ICE man (암기법)
①R: V와 I 동위상 → θ = 0°
②L: V가 I보다 90° 앞선다 → "ELI" (E가 L에서 I보다 앞)
③C: I가 V보다 90° 앞선다 → "ICE" (I가 C에서 E보다 앞)
임피던스·어드미턴스와 역률
30 Ω
40 Ω
0 Ω

RLC 직렬 임피던스 삼각형 시각화

직렬 임피던스
Z = R + jX = R + j(XL − XC), |Z| = √(R2 + X2)
X > 0: 유도성(지상), X < 0: 용량성(진상). 임피던스 삼각형의 빗변이 |Z|.
병렬 어드미턴스
Y = G + j(BL − BC), |Y| = √(G2 + B2)
G = 1/R [S], BL = 1/(ωL), BC = ωC. 어드미턴스 Y = 1/Z. 병렬회로는 Y로 풀면 편하다.
역률
cos θ = R|Z| = G|Y| = PS
역률이 1에 가까울수록 전력 이용 효율이 높다. 역률 개선 = 무효전력(Q) 줄이기.
공진: X_L = X_C가 되는 마법의 주파수
🔍 공진이란?
①유도 리액턴스(X_L)와 용량 리액턴스(X_C)가 정확히 같아지는 주파수가 있다
②이 주파수에서 직렬회로는 순저항(Z=R)이 되어 전류가 최대로 흐르고
③병렬회로는 임피던스가 최대가 되어 전류가 최소로 흐른다 — 서로 정반대!
5

공진 주파수 부근 응답 곡선과 대역폭 시각화

🔑 Q와 대역폭의 관계
①Q가 크면 곡선이 뾰족 → 좁은 대역폭(BW) → 높은 선택도
②Q가 작으면 곡선이 뭉뚝 → 넓은 대역폭 → 낮은 선택도
③슬라이더를 움직여보면 BW = f₀/Q 관계가 눈에 보인다
공진 주파수
ω0 = 1√(LC), f0 = 12π√(LC)
XL = XC일 때 공진 발생. 직렬: Z = R(최소), 전류 최대, 역률 = 1.
직렬 공진 선택도
Q = ω0 LR = 1ω0 CR = 1R√(LC), BW = f0Q
공진 시 VL = VC = QV (Q배 확대). Q가 클수록 날카롭고 선택적.
병렬 공진
Z = LCR (최대), Q = Rω0 L = ω0 CR = R√(CL)
BL = BC일 때 Z 최대, 전류 최소. 직렬공진과 Q 공식의 분자·분모가 뒤집힌다.
교류 전력: 유효·무효·피상의 삼각관계
🔍 왜 3가지 전력이 필요한가?
①교류에서는 전압과 전류의 위상차 때문에 "보내는 전력 ≠ 쓰이는 전력"
②유효전력(P): 실제로 일을 하는 전력 — 열, 빛, 동력으로 변환
③무효전력(Q): L·C에 저장했다 돌려보내기를 반복 — 일은 안 하지만 전선에 전류를 흘린다
교류 전력 3종
P = VI cos θ = I2R, Q = VI sin θ = I2X, S = VI
P: 유효전력[W], Q: 무효전력[var], S: 피상전력[VA]. 전력 삼각형: S² = P² + Q².
복소전력
S = P + jQ = VI*
I*는 전류의 켤레복소수. 실수부 = P(유효), 허수부 = Q(무효). 켤레(*)를 쓴다는 점에 주의.
최대전력전달 (교류)
ZL = Zs* (켤레 복소수): RL = Rs, XL = −Xs
부하 임피던스가 소스의 켤레복소수일 때 최대전력 전달. Pmax = |Vs|²/(4Rs).
💡 역률 개선
①유도성 부하(모터 등)에 병렬 커패시터 추가 → 무효전력 Q 상쇄
②cos θ 증가 → 같은 유효전력에 필요한 전류 감소 → 전력 손실 감소
③진상 역률(과보상)도 문제 — 적정 역률 0.95~1.0 유지가 목표
시험 포인트 총정리
리액턴스
XL = ωL = 2πfL, XC = 1ωC = 12πfC
L: 주파수 비례, C: 주파수 반비례
공진 주파수
f0 = 12π√(LC)
직렬: Z=R(최소), 병렬: Z=L/CR(최대)
🎯 시험 포인트
①ELI the ICE man: L에서 E가 I보다 앞서고, C에서 I가 E보다 앞선다
②직렬 공진: X_L=X_C → Z=R(최소), I 최대, V_L=V_C=QV(Q배 확대)
③병렬 공진: B_L=B_C → Z=L/(CR)(최대), I 최소 — 직렬과 반대!
④직렬 Q = ωL/R, 병렬 Q = R/(ωL) — 분자·분모가 뒤집힌다
⑤교류 최대전력: Z_L = Z_s*(켤레) → R_L=R_s, X_L=−X_s
⑥복소전력 S = P+jQ = VI* — I의 켤레(*)를 쓴다는 점 주의
⑦역률 개선: 유도성 부하에 병렬 C 추가, 어드미턴스 Y로 계산이 편하다