중1 수학›평면·입체도형과 통계

다각형과 원

Polygon & Circle

직관 도입 -- 피자를 n등분하면?
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🍕 피자로 이해하자
①피자를 n등분 자르면 한 조각의 중심각은 360/n도
②다각형도 비슷하다 -- 한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 삼각형이 생긴다
③삼각형 1개의 내각의 합은 180도
④삼각형이 (n-2)개 나오니까 전체 내각의 합은 180 x (n-2)도!
내각과 외각의 관계
내각의 합
내각의 합 = 180° x (n - 2)
n각형을 삼각형 (n-2)개로 나누면 자연스럽게 나온다
정다각형의 한 내각
한 내각 = 180° x (n-2)n
정다각형은 모든 내각이 같으므로 전체를 n으로 나눈다
외각의 합
외각의 합 = 360° (모든 다각형)
한 내각 + 한 외각 = 180도이므로, 외각의 합은 항상 360도
💡 외각의 합이 항상 360도인 이유
①다각형의 둘레를 따라 한 바퀴 걸어본다고 상상하자
②각 꼭짓점에서 회전하는 각도가 바로 외각이다
③한 바퀴 돌면 총 360도 회전하니까 외각의 합은 항상 360도!
원과 부채꼴
120°
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🔍 부채꼴은 원의 일부다
①원 전체 = 중심각 360도짜리 부채꼴
②중심각이 x도인 부채꼴은 원의 x/360 만큼이다
③그래서 호의 길이도, 넓이도 모두 x/360 비율!
공식 도출
원의 둘레
l = 2πr
지름 x π = 원의 둘레. 지름 d를 쓰면 l = πd
원의 넓이
S = πr²
반지름을 제곱하고 π를 곱하면 원의 넓이
부채꼴 호의 길이
l = 2πr x x360
원 둘레의 x/360 비율
부채꼴 넓이
S = πr² x x360 = 12rl
원 넓이의 x/360 비율. (1/2) x 반지름 x 호의 길이로도 구할 수 있다
💡 S = (1/2)rl 이 되는 이유
①부채꼴을 아주 얇은 삼각형 여러 개로 잘게 자른다고 상상하자
②각 삼각형의 밑변 = 호의 조각, 높이 = 반지름
③삼각형 넓이 = (1/2) x 밑변 x 높이
④전부 합하면 S = (1/2) x r x l
시험 포인트 정리
다각형·원·부채꼴 총정리
내각합 = 180(n-2), S원 = πr², S부채꼴 = 12rl
이 세 공식이 핵심이다
🎯 시험 포인트
①내각의 합 180(n-2) -- n에 숫자 넣으면 바로 답
②외각의 합 360도는 n과 무관 -- 함정 문제 주의
③정n각형 한 내각: 정육각형 120도, 정팔각형 135도 암기
④부채꼴 넓이 (1/2)rl 공식이 서술형에 자주 출제
⑤호의 길이와 넓이는 중심각에 비례한다 (비례식 풀이)