확률과 통계›통계

통계적 추정

Statistical Estimation

모집단과 표본
🔬 통계적 추정이란?
①모집단 전체를 조사하기 어려울 때
②일부(표본)를 뽑아 전체(모집단)를 추측
③핵심 질문: 표본평균으로 모평균을 얼마나 정확히 맞출 수 있는가?
표본평균의 분포
25
10
표본평균의 분포
X̄ \sim N(μ, σ2n)
모집단이 N(μ,σ²)일 때, 표본평균 X̄의 분포
💡 표본 크기의 마법
①n이 커질수록 X̄의 분포가 좁아짐
②표준오차 = σ/√n → n을 4배로 하면 오차 반감
③이것이 '대수의 법칙'의 핵심
신뢰구간
36
95%
모평균의 신뢰구간
x̄ - z × σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z × σ√n
모표준편차 σ를 알 때, 모평균 μ의 신뢰구간
📐 신뢰도와 z값
①95% 신뢰구간: z = 1.96
②99% 신뢰구간: z = 2.576
③신뢰도 ↑ → 구간 넓어짐 (더 확실하려면 범위를 넓혀야)
④n ↑ → 구간 좁아짐 (더 많이 조사하면 정밀해짐)
신뢰구간의 의미
오차한계
E = z × σ√n
신뢰구간의 반폭 (오차의 크기)
필요 표본 크기
n ≥ (zσE)2
오차한계 E 이하로 만들기 위한 최소 표본 크기
⚠️ 흔한 오해 바로잡기
①'95% 신뢰구간'은 '이 구간 안에 μ가 있을 확률 95%'가 아님
②올바른 해석: 같은 방법으로 100번 구간을 만들면 약 95번은 μ를 포함
③μ는 고정값, 구간이 확률적으로 변함
총정리
통계적 추정 핵심
x̄ - z σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z σ√n
모평균의 신뢰구간 (σ 알 때)
🎯 시험 포인트
①표본평균 분포: X̄ ~ N(μ, σ²/n)
②표준오차: σ/√n
③95% → z=1.96, 99% → z=2.576
④오차한계 E = zσ/√n
⑤n을 4배로 → 오차 반으로