확률과 통계›확률분포

정규분포

Normal Distribution

종 모양의 곡선

🔔 정규분포란?

①자연·사회 현상의 대부분이 따르는 종 모양 분포

②평균(μ)을 중심으로 좌우 대칭

③표준편차(σ)가 작으면 뾰족, 크면 납작

④전체 면적 = 1 (확률의 합)

N(μ, σ²) 곡선

평균 μ50

표준편차 σ10

정규분포 확률밀도함수

f(x) = 1σ√(2π) e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}

N(μ, σ²)의 확률밀도함수

📏 68-95-99.7 법칙

①μ ± 1σ 구간: 전체의 약 68.3%

②μ ± 2σ 구간: 전체의 약 95.4%

③μ ± 3σ 구간: 전체의 약 99.7%

④σ가 클수록 넓게 퍼짐

표준정규분포 Z

z값 ×1015

표준화 변환

Z = X - μσ

N(μ,σ²) → N(0,1)로 변환하는 공식

💡 표준화의 핵심

①어떤 정규분포든 Z변환으로 N(0,1)로 통일

②표준정규분포표 하나로 모든 정규분포 확률 계산

③P(a ≤ X ≤ b) = P(z₁ ≤ Z ≤ z₂)

이항분포와 정규분포

이항분포의 정규근사

B(n, p) ≈ N(np, np(1−p)) (n이 충분히 클 때)

n이 크면 이항분포는 정규분포에 가까워짐

총정리

정규분포 핵심

Z = X-μσ, \quad X \sim N(μ, σ²)

정규분포와 표준화 변환

🎯 시험 포인트

①Z = (X−μ)/σ 로 표준화

②표준정규분포표에서 P(0≤Z≤z) 읽기

③68-95-99.7 법칙

④P(Z≥a) = 0.5 − P(0≤Z≤a)

⑤이항분포 → n 크면 정규근사