수학Ⅱ›1단원 함수의 극한과 연속

함수의 극한

Limit of a Function

극한이란 무엇인가

🎯 극한의 핵심 아이디어

①"x가 a에 한없이 가까워질 때, f(x)는 어디로 가까워지는가?"

②실제로 x = a에 도달할 필요는 없습니다 — 다가가는 "경향"이 중요합니다

③좌극한(왼쪽에서 접근)과 우극한(오른쪽에서 접근)이 같아야 극한값이 존재합니다

접근 정도 t20 %

💡 관찰 포인트

①파란 점(좌극한)과 주황 점(우극한)이 모두 y=2를 향해 다가갑니다

②f(1)은 정의되지 않지만(빈 원), 극한값은 분명히 2입니다

③(x²-1)/(x-1)을 인수분해하면 (x+1)(x-1)/(x-1) = x+1 — x가 1에 가까우면 f(x)는 2에 가깝습니다

엡실론-델타 정의

ε (오차 범위)1.5

극한의 정의 (ε-δ)

lim_x→a f(x) = L

임의의 ε > 0에 대해 적절한 δ > 0이 존재하여, 0 < |x - a| < δ이면 |f(x) - L| < ε

🔑 ε-δ 이해법

①ε은 y축 방향의 허용 오차 범위(주황색 띠)

②δ는 x축 방향의 제한 범위(파란색 띠)

③ε을 아무리 작게 잡아도 그에 맞는 δ를 항상 찾을 수 있으면 → 극한이 존재!

극한의 기본 성질

상수 k2

극한의 사칙연산

lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x)

극한의 합/차/곱/몫은 각각의 극한값으로 계산 (분모 ≠ 0)

상수배 성질

lim k·f(x) = k · lim f(x)

상수는 극한 밖으로 꺼낼 수 있다

주요 극한값

삼각함수 기본 극한

lim_x→0 sin xx = 1

수능·모의고사 필수 공식 — 라디안 기준

자연로그 밑 극한

lim_x→0 e^x - 1x = 1

자연상수 e의 정의에서 유도

자연로그 극한

lim_x→0 ln(1 + x)x = 1

위 공식에서 치환으로 유도 가능

총정리

극한의 정의

lim_x→a f(x) = L ⟺ 좌극한 = 우극한 = L

양쪽에서 같은 값에 수렴해야 극한이 존재

🎯 시험 포인트

①좌극한 ≠ 우극한이면 극한은 존재하지 않는다

②f(a)의 값과 극한값은 별개 — f(a)가 정의되지 않아도 극한은 존재할 수 있다

③0/0 꼴은 인수분해, 유리화, 로피탈 등으로 해결

④sin x/x → 1, (e^x - 1)/x → 1은 반드시 암기

⑤극한의 사칙연산은 각 극한값이 존재할 때만 성립