수학Ⅱ›2단원 미분

도함수의 활용

Applications of Derivatives

증가와 감소의 판별

📈 도함수의 부호가 알려주는 것

①f'(x) > 0인 구간 → f(x)는 증가 (오르막)

②f'(x) < 0인 구간 → f(x)는 감소 (내리막)

③f'(x) = 0인 점 → 극대 또는 극소의 후보

극값과 증감표

x 위치0

극값 판정법

f'(a) = 0이고 f'의 부호가 + → - 이면 극대, - → + 이면 극소

증감표를 그려서 도함수의 부호 변화를 확인

💡 증감표 작성법

①f'(x) = 0의 근을 구한다 (예: 3x² - 3 = 0 → x = ±1)

②각 구간에서 f'(x)의 부호를 판별한다

③부호가 바뀌는 점에서 극대/극소를 판정한다

④f'(x) = 0이어도 부호가 안 바뀌면 극값이 아님! (예: x³의 x=0)

최대와 최소

폐구간에서 최댓값·최솟값

[a, b]에서 후보: ①f'(x)=0인 점 ②양 끝점 f(a), f(b)

극값 후보와 양 끝점 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값

이계도함수 판정법

f'(a)=0, f''(a)<0 → 극대 / f'(a)=0, f''(a)>0 → 극소

이계도함수의 부호로 극대/극소를 판정하는 방법

🔑 최대·최소 전략

①폐구간이 주어지면: 극값 + 양 끝점을 모두 비교

②열린 구간이면: 극값만으로 최대·최소 판단

③실생활 최적화 문제: 목적함수를 세우고 미분하여 극값 탐색

속도와 가속도

시각 t1 s

위치-속도-가속도 관계

v(t) = s'(t), a(t) = v'(t) = s''(t)

위치를 한 번 미분하면 속도, 두 번 미분하면 가속도

💡 물체의 운동 해석

①v(t) > 0: 양의 방향 이동 / v(t) < 0: 음의 방향 이동

②v(t) = 0인 순간: 방향 전환점 (최고점)

③a(t) = 상수 → 등가속도 운동 (자유낙하 등)

총정리

극값 조건

f'(a) = 0 + 부호 변화 → 극대/극소

도함수의 부호 변화가 핵심

🎯 시험 포인트

①증감표: f'(x) = 0의 근을 구하고, 각 구간의 부호 확인

②극값 판정: f'의 부호가 + → -이면 극대, - → +이면 극소

③최대·최소: 폐구간에서는 극값 + 양 끝점 비교

④접선 방정식: y = f(a) + f'(a)(x - a)

⑤방정식/부등식의 풀이에 증감표 활용 — 그래프 개형을 먼저 파악