수학Ⅱ›3단원 적분

정적분

Definite Integral

넓이를 직사각형으로 잘게 쪼개기
📐 정적분의 핵심 아이디어
①곡선 아래 넓이를 구하고 싶다 → 직사각형으로 채워보자!
②직사각형을 점점 더 가늘게 쪼개면(n → ∞) → 정확한 넓이에 수렴
③이 극한이 바로 정적분!
리만 합에서 정적분으로
5 개
2
정적분의 정의
∫ab f(x) dx = limn→∞ Σk=1n f(xk) Δx
구분구적법의 극한 = 곡선 아래 넓이
🔑 관찰 포인트
①n = 2~5: 직사각형이 크고 오차가 큼
②n = 20~50: 직사각형이 곡선을 거의 정확히 채움
③n → ∞: 리만 합 → 정적분 (정확한 넓이)
미적분의 기본정리
미적분의 기본정리
∫ab f(x) dx = F(b) - F(a) (단, F'(x) = f(x))
역도함수를 알면 정적분을 바로 계산할 수 있다 — 구분구적법 없이!
💡 기본정리의 위대함
①리만 합(극한)을 직접 계산하는 것은 매우 복잡
②기본정리 덕분에: 역도함수 F(x)를 찾고 F(b) - F(a)만 계산하면 끝!
③미분(접선 기울기)과 적분(넓이)이 역관계라는 놀라운 연결
계산 예시
∫02 x² dx = [x³3]02 = 83 - 0 = 83
F(x) = x³/3를 구한 뒤, F(2) - F(0) 계산
정적분과 넓이의 부호
1.5
넓이와 정적분의 관계
넓이 S = ∫ab |f(x)| dx (절댓값!)
정적분은 부호가 있지만, 실제 넓이는 절댓값을 적분
⚠ 주의사항
①정적분 값 ≠ 넓이 (x축 아래 부분은 음수로 계산됨)
②실제 넓이를 구하려면 |f(x)|를 적분해야 함
③구간을 나누어 양/음 부분을 따로 계산하는 것이 핵심
총정리
정적분 핵심
∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)
미적분의 기본정리
🎯 시험 포인트
①정적분 = 부호가 있는 넓이 — 넓이와는 다르다!
②기본정리: F(b) - F(a) — 역도함수의 차이
③구간 분할: ∫_a^c + ∫_c^b = ∫_a^b
④짝수함수: ∫_{-a}^{a} f(x) dx = 2∫_0^a f(x) dx
⑤홀수함수: ∫_{-a}^{a} f(x) dx = 0