수학Ⅱ›1단원 함수의 극한과 연속

함수의 연속

Continuity of Functions

연속의 직관
✏ 연속이란?
①"펜을 떼지 않고 그릴 수 있는 그래프"
②끊기지 않고, 점프하지 않고, 구멍이 없는 매끄러운 곡선
③수학적으로는 세 가지 조건을 동시에 만족해야 합니다
연속과 불연속의 비교
연속의 세 가지 조건
x = a에서 연속 ⟺ ①f(a) 존재 ②limx→a f(x) 존재 ③limx→a f(x) = f(a)
세 조건 중 하나라도 불만족 → 불연속
🔍 불연속의 유형
①점프 불연속: 좌극한 ≠ 우극한 (계단 함수)
②제거 가능 불연속: 극한은 존재하지만 f(a) ≠ 극한값 (구멍)
③무한 불연속: 극한 자체가 ±∞ (수직 점근선)
연속함수의 성질
연속함수의 사칙연산
f, g가 연속이면 f ± g, f · g, f/g (g ≠ 0) 모두 연속
연속함수끼리 더하고 빼고 곱해도 연속
합성함수의 연속
f가 a에서 연속, g가 f(a)에서 연속 → g ∘ f가 a에서 연속
연속함수의 합성은 연속
중간값 정리
0.5
중간값 정리
f(a) < k < f(b) 이면 f(c) = k인 c ∈ (a, b) 존재
연속함수는 중간값을 반드시 지난다 — 방정식의 근의 존재성 증명에 활용
💡 중간값 정리 활용
①"f(a) < 0이고 f(b) > 0이면, (a, b) 사이에 f(c) = 0인 근이 존재한다"
②방정식의 실근 존재성 증명에 필수
③반드시 f가 [a, b]에서 연속이어야 적용 가능
총정리
연속의 정의
limx→a f(x) = f(a)
극한값과 함수값이 같으면 연속
🎯 시험 포인트
①연속 3조건: f(a) 존재 + 극한 존재 + 둘이 같다
②다항함수, 삼각함수, 지수/로그함수는 정의역 내에서 항상 연속
③불연속 판별: 좌극한과 우극한 비교가 핵심
④중간값 정리: 연속함수의 근 존재성 증명 → "부호가 바뀌면 근이 있다"
⑤미정계수 문제: 연속 조건(좌극한=우극한=f(a))으로 상수 결정