수학Ⅰ›수열

수열의 합

Sum of Series

시그마(Σ) 기호의 의미

항의 수 n5

💡 Σ는 '모두 더하라'는 명령이다

①Σ(k=1 to n) a_k = a₁ + a₂ + ... + a_n

②아래: 시작값, 위: 끝값, 오른쪽: 규칙

③각 막대의 높이를 모두 합한 것이 Σ의 결과

자연수 거듭제곱의 합 — 삼각수

n5

자연수의 합

n(n+1)2

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

핵심 공식 세 가지

Σk

n(n+1)2

1 + 2 + ... + n

Σk²

n(n+1)(2n+1)6

1² + 2² + ... + n²

Σk³

\left[n(n+1)2\right]² = (Σk)²

1³ + 2³ + ... + n³ = (1+2+...+n)²

🔗 놀라운 관계

①Σk³ = (Σk)² — 세제곱의 합은 합의 제곱!

②이 세 공식으로 대부분의 수열 합 문제를 풀 수 있다

③복잡한 식은 항상 k, k², k³으로 분해

Σ의 성질

선형성

Σ(ca_k + b_k) = c·Σa_k + Σb_k

상수 배는 밖으로, 합은 분리 가능

일반항 역추적

a_n = S_n - S_n-1 (n ≥ 2)

합에서 일반항을 구하는 핵심 공식

⚠️ a_n 역추적 시 주의

①n ≥ 2: a_n = S_n - S_{n-1}

②n = 1: a₁ = S₁ (별도 확인 필수!)

③두 값이 일치하는지 반드시 검증

총정리

수열의 합 3대 공식

Σk = n(n+1)2, Σk² = n(n+1)(2n+1)6, Σk³ = [n(n+1)2]²

자연수, 제곱수, 세제곱수의 합

🎯 시험 포인트

①Σk = n(n+1)/2 — 가장 기본

②Σk² = n(n+1)(2n+1)/6

③Σk³ = [n(n+1)/2]² = (Σk)²

④Σ의 선형성: 상수 분리, 합 분리

⑤a_n = S_n - S_{n-1} (n ≥ 2), a₁ = S₁ 별도 확인