수학Ⅰ›수열

등비수열

Geometric Sequence

등비수열이란 — 같은 비율로 곱하는 수열

첫째항 a₁2

공비 r2

항의 수 n5

💡 등비수열 = 같은 비율로 곱하는 수열

①이웃하는 두 항의 비가 항상 같다 (= 공비 r)

②r > 1이면 폭발적 증가 (지수 성장)

③0 < r < 1이면 점점 줄어듦 (지수 감소)

④r < 0이면 부호가 번갈아 바뀜

일반항과 합 공식

등비수열 일반항

a_n = a₁ · r^n-1

n번째 항 = 첫째항 × 공비⁽n-1)

등비수열의 합

S_n = a₁(rⁿ - 1)r - 1 (r ≠ 1)

r = 1이면 S_n = na₁

📐 등비수열 합 유도 아이디어

①S_n = a₁ + a₁r + a₁r² + ... + a₁r^{n-1}

②rS_n = a₁r + a₁r² + ... + a₁r^n

③빼면: S_n - rS_n = a₁ - a₁r^n

④따라서 S_n(1-r) = a₁(1-r^n)

등비급수 — 무한합의 수렴

공비 r0.5

무한등비급수

S = a₁1 - r (|r| < 1)

|r| < 1일 때만 수렴, |r| ≥ 1이면 발산

등비중항

등비중항

b² = ac (a, b, c가 등비수열)

가운데 항의 제곱 = 양쪽 항의 곱

📐 등비중항의 활용

①세 수 a, b, c가 등비수열 ⟺ b² = ac

②b = ±√(ac) → 부호에 주의

③등비수열에서 등간격으로 뽑은 항도 등비수열

총정리

등비수열 핵심 공식

a_n = a₁r^n-1, S_n = a₁(rⁿ - 1)r - 1

일반항과 합을 한 번에 정리

🎯 시험 포인트

①일반항: a_n = a₁ · r^{n-1}

②합: S_n = a₁(r^n - 1)/(r - 1) (r ≠ 1)

③무한등비급수: |r| < 1일 때 S = a₁/(1-r)

④등비중항: b² = ac

⑤r의 부호와 크기가 수열의 행동을 결정