수학Ⅰ›지수함수와 로그함수

지수함수

Exponential Function

지수함수의 모양 — 밑에 따른 변화

밑 a2

💡 모든 지수함수는 (0, 1)을 지난다

①a^0 = 1이므로 밑이 무엇이든 y절편은 항상 1

②밑이 클수록 오른쪽에서 더 가파르게 상승

③x → -∞ 일 때 y → 0 (x축이 점근선)

지수함수의 성질

지수함수의 정의

y = a^x (a > 0, a ≠ 1)

밑 a가 양수이고 1이 아닌 실수

📐 a > 1 vs 0 < a < 1

①a > 1: x가 커질수록 y 급증 (증가함수)

②0 < a < 1: x가 커질수록 y → 0 (감소함수)

③두 경우 모두 점근선은 x축 (y = 0)

④치역: y > 0 (항상 양수)

지수함수의 평행이동

x축 이동0

y축 이동0

평행이동

y = a^x-p + q

x축 방향 +p, y축 방향 +q 이동 → 점근선: y = q

지수방정식과 부등식

지수방정식

a^f(x) = a^g(x) ⟹ f(x) = g(x)

밑이 같으면 지수끼리 비교

⚠️ 지수부등식에서 밑의 크기가 핵심

①a > 1일 때: a^m > a^n ⟺ m > n (부등호 유지)

②0 < a < 1일 때: a^m > a^n ⟺ m < n (부등호 반전)

③밑이 1보다 큰지 작은지 반드시 확인!

총정리

지수함수 핵심

y = a^x: 정의역 = ℝ, 치역 = (0, ∞), 점근선: y = 0

밑이 1보다 크면 증가, 작으면 감소

🎯 시험 포인트

①(0, 1) 통과: a^0 = 1

②a > 1이면 증가, 0 < a < 1이면 감소

③점근선과 평행이동: y = a^{x-p} + q → 점근선 y = q

④지수방정식: 밑 통일 → 지수 비교

⑤지수부등식: 밑이 1보다 작으면 부등호 뒤집기