공통수학›다항식

나머지정리와 인수정리

Remainder Theorem & Factor Theorem

나머지정리 — 대입하면 나머지

다항식 P(x)를 (x - a)로 나눈 나머지는 P(a)와 같습니다. 나눗셈 없이 대입만으로 나머지를 구할 수 있는 강력한 도구입니다.

a의 값2

💡 나머지정리의 직관

①f(x) = (x-a)·Q(x) + R 에서 x=a를 대입하면

②f(a) = 0·Q(a) + R = R

③따라서 나머지 R = f(a)

나머지정리 공식

나머지정리

P(x) ÷ (x - a)의 나머지 = P(a)

대입값이 곧 나머지

일반화

P(x) ÷ (ax + b)의 나머지 = P(-ba)

ax + b = 0의 근을 대입

인수정리 — P(a)=0 이면 인수

나머지가 0이라는 것은, 그래프가 x축과 만난다는 뜻입니다. P(a) = 0이면 (x - a)는 P(x)의 인수입니다.

근 a3

🔑 인수정리의 핵심

①P(a) = 0 ⟺ (x - a)는 P(x)의 인수

②그래프에서: x축과의 교점이 곧 인수를 알려줌

③고차식의 인수분해 첫 단추 = 정수 근 찾기

인수정리 활용법

인수정리

P(a) = 0 ⟺ (x - a)는 P(x)의 인수

나머지가 0 = 나누어떨어짐 = 인수

📐 고차식 인수분해 전략

①상수항의 약수를 후보로 시도 (±1, ±2, ±3, ...)

②P(후보) = 0 되는 값 찾기

③조립제법으로 몫 구하기

④몫을 다시 인수분해

총정리

나머지정리

P(x) ÷ (x - a)의 나머지 R = P(a)

대입 한 번으로 나머지 확정

인수정리

P(a) = 0 ⟹ P(x) = (x - a) · Q(x)

나머지가 0이면 인수

🎯 시험 포인트

①나머지정리: (x-a)뿐 아니라 (ax+b)도 근 대입

②인수정리: 상수항의 약수부터 대입 시도

③조립제법과 결합하여 고차식 인수분해

④f(x)가 (x-a)(x-b)로 나누어지면 f(a)=0, f(b)=0 동시 성립

⑤나머지정리 역이용: R을 알면 계수 결정 가능