기하›이차곡선

쌍곡선

Hyperbola

쌍곡선의 정의
2
1.5
👀 쌍곡선이란?
①두 초점 F, F'이 있다
②쌍곡선 위의 점 P에서 |PF' − PF| = 2a (차의 절댓값이 일정)
③타원은 '합이 일정', 쌍곡선은 '차가 일정'
④두 갈래(가지)로 나뉜 곡선이다
점근선과 직사각형
📐 점근선의 비밀
①가로 a, 세로 b인 직사각형을 원점에 그린다
②그 대각선을 무한히 연장한 것이 점근선
③쌍곡선은 점근선에 한없이 가까워지지만 절대 만나지 않는다
④점근선: y = ±(b/a)x
표준형 공식
쌍곡선 표준형 (가로)
x²a² − y²b² = 1
초점 (±c, 0), 점근선 y = ±(b/a)x
쌍곡선 표준형 (세로)
y²a² − x²b² = 1
초점 (0, ±c), 점근선 y = ±(a/b)x
🔍 타원과의 비교
①타원: + 부호 → 닫힌 곡선
②쌍곡선: − 부호 → 열린 곡선 (두 가지)
③타원: c² = a² − b² (a > b)
④쌍곡선: c² = a² + b² (a, b 대소 관계 없음)
초점과 이심률
초점 관계식
c² = a² + b²
초점거리² = 실축² + 허축²
이심률
e = ca > 1
e→1이면 점근선이 좁고, e가 크면 점근선이 넓다
🎯 이심률 직관
①쌍곡선의 이심률은 항상 e > 1
②e = √(1 + b²/a²)
③b/a가 클수록 점근선 기울기가 가파르고 e가 크다
④직각쌍곡선(a=b)이면 e = √2, 점근선은 y = ±x
총정리
핵심 비교
x²a² − y²b² = 1, c² = a² + b²
'−' 부호가 쌍곡선의 상징 | c는 항상 a보다 크다
🎯 시험 포인트
①정의: |PF' − PF| = 2a
②c² = a² + b² (타원과 부호 반대!)
③점근선 y = ±(b/a)x — 문제에서 자주 출제
④이심률 e > 1
⑤타원·포물선·쌍곡선의 이심률 비교: 타원(0<e<1), 포물선(e=1), 쌍곡선(e>1)