미적분›급수

급수

Series

무한히 더하면?

부분합 항 수8개

공비 r0.5

👀 눈으로 보자

금색 막대가 부분합 Sₙ이다. 공비 |r|<1이면 막대가 빨간 점선(수렴값)으로 다가간다. |r|≥1이면 막대가 끝없이 커져서 발산한다.

항의 크기로 직감하기

📦 면적 비유

①각 사각형이 급수의 한 항(rᵏ)이다

②|r|<1이면 사각형이 급격히 작아져서, 총 면적이 유한하다

③|r|≥1이면 사각형이 줄지 않으므로, 총 면적이 무한대이다

등비급수 공식 유도

부분합 공식

S_n = a(1 - rⁿ)1 - r (r ≠ 1)

첫째항 a, 공비 r인 등비급수의 n번째 부분합

등비급수 (무한합)

a1 - r (|r| < 1)

n → ∞일 때 rⁿ → 0이므로, 부분합이 a/(1-r)로 수렴

💡 핵심 직관

①Sₙ = a(1-rⁿ)/(1-r)에서 n→∞이면 rⁿ→0

②따라서 S = a/(1-r)

③이 공식은 |r|<1일 때만 성립한다!

수렴 판정법

발산 판정법

lim_n→∞ a_n ≠ 0 ⇒ Σa_n 발산

일반항이 0으로 수렴하지 않으면 급수는 반드시 발산한다

비교판정법

0 ≤ a_n ≤ b_n : Σb_n 수렴 ⇒ Σa_n 수렴

더 큰 급수가 수렴하면, 더 작은 급수도 수렴 (역은 발산)

⚖️ 판정법 비유

①발산 판정: 각 항이 0에 가지 않으면, 쌓이는 양이 줄지 않으니 발산

②비교 판정: 형보다 작은 동생도 통과 (형이 수렴하면 동생도 수렴)

총정리

등비급수 수렴 조건

Σ_k=0^∞ ar^k = a1-r (|r| < 1)

첫째항 a, 공비 r, |r|<1일 때 수렴

🎯 시험 포인트

①등비급수: |r|<1 ↔ 수렴, |r|≥1 ↔ 발산

②무한등비급수의 합: a/(1-r) 공식 암기

③발산 판정법: lim aₙ≠0이면 무조건 발산

④부분합 Sₙ의 극한으로 급수의 수렴을 정의

⑤비교판정법: 큰 급수 수렴 → 작은 급수 수렴