미적분›여러 가지 적분법

여러 가지 적분법

Integration Methods

치환적분의 직관
2
🔄 세계를 바꾸자
①왼쪽(x-세계): 2x·cos(x²) — 복잡하다
②u = x²로 치환하면 → 오른쪽(u-세계): cos(u) — 간단!
③적분한 후 다시 x로 되돌리면 sin(x²) + C
치환적분 공식
∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du (u = g(x))
안쪽 함수 g(x) = u로 놓으면, g'(x)dx = du
부분적분의 직관
1.5
부분적분 공식
∫ u dv = uv − ∫ v du
미분하기 쉬운 것을 u, 적분하기 쉬운 것을 dv로 선택
🧩 LIATE 법칙
①u 선택 우선순위: Log → Inverse trig → Algebraic → Trig → Exponential
②예: ∫xeˣdx → u=x(대수), dv=eˣdx
③결과: xeˣ − ∫eˣdx = xeˣ − eˣ + C
치환적분 주요 유형
삼각함수 치환
√(a²−x²) → x = a sin θ, √(x²−a²) → x = a sec θ
근호 안의 형태에 따라 삼각치환을 선택한다
부분분수 분해
1(x-a)(x-b) = Ax-a + Bx-b
유리함수를 부분분수로 분해한 뒤 각각 적분한다
💡 핵심 전략
①합성함수 형태 → 치환적분
②두 함수의 곱 → 부분적분
③근호 → 삼각치환
④유리함수 → 부분분수 분해
자주 나오는 적분 공식
지수·로그 적분
∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ 1x dx = ln|x| + C
eˣ의 적분은 자기 자신, 1/x의 적분은 ln|x|
삼각함수 적분
∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C
sin 적분에 (−)부호 주의!
sec² 적분
∫ sec²x dx = tan x + C, ∫ csc²x dx = −cot x + C
미분의 역과정
총정리
적분법 선택 가이드
합성함수 → 치환, 함수×함수 → 부분, 근호 → 삼각치환, 분수 → 부분분수
피적분함수의 형태에 따라 적분법을 선택하는 4대 원칙
🎯 시험 포인트
①치환적분: u를 무엇으로 놓을지가 핵심 — 안쪽 함수를 u로
②부분적분: LIATE 순서로 u 선택
③삼각치환: √(a²−x²) → sinθ, √(x²+a²) → tanθ, √(x²−a²) → secθ
④부분분수: 분모를 인수분해 후 미정계수 결정
⑤적분 후 반드시 검산: 결과를 미분해서 원래 함수가 나오는지 확인