미적분›여러 가지 미분법

여러 가지 미분법

Differentiation Methods

합성함수의 미분 (연쇄법칙)

x 위치1.5

🔗 연쇄(Chain) 비유

①sin(2x)에서 바깥함수는 sin, 안쪽함수는 2x

②미분할 때 바깥을 먼저 미분(cos) → 안쪽 미분(2)을 곱한다

③결과: 2cos(2x) — 진폭이 2배로 커진 이유가 여기에 있다

연쇄법칙 (Chain Rule)

{f(g(x))}' = f'(g(x)) · g'(x)

바깥함수의 미분 × 안쪽함수의 미분

음함수 미분

음함수 미분법

x² + y² = r² 양변 미분 → 2x + 2y·y' = 0 → y' = −xy

y를 x의 함수로 보고 양변을 x에 대해 미분한다

🔄 음함수 미분의 핵심

①y = f(x) 형태로 풀리지 않아도 미분 가능

②y가 나올 때마다 연쇄법칙 적용: dy/dx = y'

③양변을 미분한 후 y'에 대해 정리

매개변수 미분

매개변수 t4

매개변수 미분법

x = f(t), y = g(t) → dydx = dy/dtdx/dt = g'(t)f'(t)

x, y 각각을 t로 미분한 뒤, dy/dt를 dx/dt로 나눈다

🎡 사이클로이드

①바퀴가 굴러가면서 바퀴 위 한 점이 그리는 곡선

②x = t − sin t, y = 1 − cos t

③빨간 접선의 기울기 = (sin t)/(1 − cos t)

로그미분법

y = x^x → ln y = x ln x → y'/y = ln x + 1 → y' = x^x(ln x + 1)

양변에 자연로그를 취한 뒤 미분하면 복잡한 함수도 깔끔해진다

💡 언제 쓰나?

①변수가 밑과 지수 양쪽에 있을 때 (xˣ)

②곱과 나눗셈이 복잡하게 얽혀 있을 때

③양변에 ln을 취하면 곱→합, 나눗셈→차로 바뀌어 간단해진다

총정리

3대 미분법 요약

합성: {f(g(x))}' = f'·g' 음함수: 양변 미분 후 y' 정리 매개: g'(t)f'(t)

연쇄법칙, 음함수 미분, 매개변수 미분 — 세 가지 핵심 도구

🎯 시험 포인트

①연쇄법칙: 바깥 미분 × 안쪽 미분 — 가장 빈출

②음함수: y가 나올 때마다 y'를 곱하는 것을 잊지 말자

③매개변수: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)

④로그미분법: xˣ 형태 → 양변 ln 후 미분

⑤복합 문제: 연쇄법칙 + 음함수를 동시에 쓰는 문제 주의